Rehber | Kategoriler | Konular
iHTiMaLLER HESaBI
Alm. Wahrscheinlich keitsrechnung, Fr. Probabilites, İng. Probability. Bir deney sonunda çıkması muhtemel olayların çıkma şanslarını inceleyen bir matematik dalı. İlk çıkışı şans oyunlarına dayanmakta ise de günümüzde pekçok uygulama alanına sâhiptir. Meselâ kazâ, ölüm, hastalık veya hırsızlık olaylarına karşı sigorta masrafının belirlenmesinde, bu olayların meydana gelme ihtimâlinin bilinmesi gerekir. Buna benzer, sanâyide kalite kontrolü ve bunun ölçülmesi ihtimâller hesâbı yardımıyla yapılır. İhtimâller hesâbı kullandığı matematik metodlarla, istatistiğin temelini teşkil eder.
İhtimaller hesâbının temelleri:
İhtimaller hesâbı, bir olayda mümkün sonuçları ihtivâ eden, Örnek Uzay üzerine kurulmuştur. Meselâ, bir paranın atılması sonuçlarını ihtivâ eden Örnek Uzay, ?yazı? ve ?tura? gibi iki elemana sâhiptir. Bu elemanlardan birinin ortaya çıkma ihtimâli 1/2'dir. İkisinden birinin ortaya çıkma ihtimâli ise 1/2 + 1/2=1, yâni kesindir. Bir olay muhakkak ortaya çıkacaksa, ihtimâli birdir. Eğer hiç ortaya çıkmayacaksa, ihtimâli sıfırdır. Bir olay A ile gösterilirse, bunun meydana gelme ihtimâli P (A) ile gösterilir. Bu değer, sıfır ile bir arasında bir değerdir. Meselâ P (A)= 0,98 ise bu olayın ortaya çıkması 100'de 98 olarak görülür.
Bir olayın ihtimâlinin bulunması için olayın Örnek Uzaydaki eleman sayısı(n) belirlenir. Gözönüne alınan olayın bu elemanlardan kaç tânesini kapsadığı (r) ile hesaplanır. P (A)= r/n olarak bulunur.
Meselâ, bir zar atışında çift sayılar gelme ihtimâli P (A)= 3/6= 0,50'dir. Böyle bir hesapta Örnek Uzay elemanlarının ortaya çıkma ihtimâlinin hepsinin eşit olduğu kabul edilmiştir. Meselâ, belirli bir gün havanın yağışlı olacağının ihtimâlini Örnek Uzayın yağışlı ve yağışsız iki elemanı var diye, P (A)= 1/2 şeklinde hesaplamak yanlış olur. Çünkü iki olayın meydana gelme ihtimâli genellikle eşit değildir. Bunun gibi, kibrit kutusunun yüzleri zar gibi numaralandırılırsa, Örnek Uzayın elemanlarının çıkma ihtimâli eşit değildir. Yâni, Örnek Uzay, eş olumlu değildir. P (A)= S (A)/ S(E)= r/n formülü, eş olumlu olaylar için geçerlidir.
İhtimâlin bulunmasında diğer bir yol da, olayı çok defâ tekrarlayarak meydana gelme sayısını belirlemekle olur. Meselâ bir zarda 1 veya 2 sayılarının meydana gelmesinin ihtimâlini belirlemek için 1000 defâ zarın atıldığını ve 1 veya 2'nin ancak 326 defâ meydana geldiğini kabul edelim. Bu durumda bu olayın ihtimâli yaklaşık olarak P (A)= 0,326 denir. Kesin değer ancak olayın sonsuz defâ tekrarlanması ile bulunur. Bu tür metodun uygulanamamasında en önemli engel, tabiatta pekçok olayın kolay tekrarlanmamasıdır.
Ayrık olayların ihtimâli: Eğer iki olay berâber meydana gelemiyorsa, bunlardan ikisinden birinin ortaya çıkma ihtimâli, ayrı ayrı ihtimâllerin toplamı olarak hesaplanır. Bu kural:
P(AÈB)= P(A) + P (B)
formülüyle ifâde edilir. Meselâ bir zar atışında 1 veya 2'nin çıkması birbirinden bağımsız olup:
P (1 veya 2)= 1/6 + 1/6= 1/3
olarak hesaplanır.
Ayrık olmayan, yâni arakesitleri boş olmayan iki olay için:
P (AÈB) = P(A) + P (B) - P(AÇB)
formülü kullanılır.
Şartlı olayların ihtimâli: Bâzı durumlarda B olayının ortaya çıkmasından sonra, A olayının ortaya çıkma ihtimâli aranır. Bu tür olaya şartlı olay ismi verilir. İhtimâli P(A/B) şeklinde yazılır. Meselâ bir kimsenin 65'ten daha yaşlı olması A olayı ve kadın olması B olayı olarak görülebilir. Olayın ihtimâlini hesaplayabilmek için, B olayının meydana gelmediği olaylar atılarak yeni bir Örnek Uzay elde edilir. Sonra burada A olayının meydana geldiği elemanların bu yeni uzaydaki ihtimâli hesaplanır. Bu hesap:
P (A/B)= P(AÇB) / P(B)
olarak formüle edilebilir. Burada A B, her iki olayın berâber gelmesini göstermektedir.
Meselâ bir torbada 1'den 10'a kadar numaralanmış kartlar bulunsun. Çekilen kart yeniden torbaya konulmamak üzere sıra ile 1 ve 2 numarayı çekme ihtimali hesaplanırsa:
1 numaralı kartı çekme ihtimali P (B)= 1/10,
2 numaralı kartı çekme ihtimali P (A/B)= 1/9
olup, yukarıdaki formüle göre:
P (AÇB)= 1/10. 1/9= 1/90
olur. Kartların 10'a kadar sıra ile çekilme ihtimâli 1/10, kartların torbaya atılarak 1'den 10'a kadar sıra ile çekilme ihtimali ise 1/10. 1/10. 1/10...... = 1/1010= 1/ 10 milyar olur.
Bağımsız olaylar:
Eğer iki olaydan birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelme ihtimâline tesir etmiyorsa, bu iki olay bağımsız olarak isimlendirilir. Eğer A ve B gibi iki olay birbirinden bağımsız ise:
P(A/B)= P(A) veya P(AÇB)= P(A).P(B)
yazılabilir. Meselâ zar atışında 1'in ortaya çıkmasının ihtimâli 1/6 ve 2'nin ortaya çıkma ihtimâli 1/6'dır. İki atışta 2'den sonra 1'in ortaya çıkma ihtimâlinin 1/6 olması birinci eşitliği göstermektedir. 1 ve 2'nin arka arkaya çıkma ihtimâlinin (1/6).(1/6)= 1/36 olması da ikinci eşitliğine örnektir.
Binom dağılımı:
Başarıya ulaşma ihtimâli p olan bir olay, gözönüne alınsın. Bu olay, birbirinden bağımsız n defâ tekrar edilsin. Olayın tam x kere başarılı olmasının ihtimâli:
b(x; n,p)= ç(n, x)px(1-p)n-x
formülü ile hesaplanabilir. Burada ç (n,x), n elemandan x eleman sayısı ile yapılabilecek farklı kombinasyon sayısını göstermektedir. Belirli bir n ve p değerleri için olan b (x;n,p) değerlerine, binom dağılımı denir. Meselâ bir tohumun filizlenme ihtimâli 0,8 kabul edilirse, ekilen 10 tohumdan tam 8'inin filizlenmesi:
b(8;10,0,8)= C(10,8) (0,8)8 (0,2)2= 0,302
bulunur ki yaklaşık olarak 0,3 kabul edilebilir.
e-posta adresimize mail atabilirsiniz.