Rehber | Kategoriler | Konular
TRiGONOMETRi
Trigonometrinin başlangıcı Mısır ve Mezopotamya'ya dayanmaktadır. Dâirenin 360 dereceye bölümü bu zamandan kalmadır. Astronomideki gelişmelere paralel olarak kürevî trigonometri de gelişmiştir. M.Ö. 4. yüzyılda Hinduların trigonometriyi astronomide kullandıkları bilinmektedir. İskenderiyeli Claudius Ptolemy, Almagest adlı eserinde (M.Ö. 150) trigonometrik oranlara yer vermiştir. Müslümanlar trigonometride önemli gelişmeler kaydetmişlerdir. El-Battanî (850-929) kürevî üçgende kosinüs teorisini ortaya koymuştur. Ebü'l-Vefâ (940-998) kürevî üçgende sinüs teoremini bulmuş, trigonometrik cetvel hazırlamıştır. Nasîreddin-i Tûsî (1201-1247) ilk defâ düzlem ve kürevî trigonometriyi, astronomiden ayırarak matematiğin bir bölümü olarak ele alıp, bu konuda ilk eseri veren matematikçi olmuştur.
Önceleri topoğrafya, denizcilik ve astronomide kullanılan trigonometri, 17. asırdan îtibâren büyük gelişme göstermiştir. Trigonometrik fonksiyonlar, ters trigonometrik fonksiyonlar incelenmiş, kompleks sayılarla ilgili araştırmalar yapılmış, elektrik devreleri ve ses dalgalarının analizinde kullanılmış, Trigonometrik seriler ve daha ileri konulara geçilmiştir.
Trigonometri denince akla gelen ilk kavram, bir açının trigonometrik oranlarıdır. Bu oranlar bir dik üçgende bir dar açı için tanımlanır. Trigonometrik oranlar, üçü esas, üçü de bunların tersi olmak üzere altı tânedir.
Dar açıların trigonometrik oranları: Bir ABC dik üçgeninde (B= 90°) bir dar açının altı trigonometrik oranı sıra ile sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant, sekant, kosekant olup A dar açısı için:
Sin A= Cos C, Cos A= Sin C, tan A= Cot C, Cot A= tan C olduğu görülür. Bu özellik dolayısıyla trigonometri cetvelleri 45° ye kadar yapılmaktadır.
Herhangi bir açının trigonometrik oranları: Târif edilen trigonometrik oranlar, dik açıdan büyük açılarda geçerli olmaz. Bütün açıların trigonometrik oranlarını bulmak için birim çember denen çember kullanılır. Birim çember, merkezi orjinala olan birim yarıçaplı çemberin dik koordinat sisteminde çizilmiş şeklidir. Üzerinde pozitif yön (saat yelkovanının ters yönü) seçilmiştir. Çember üzerinde birinci bölgedeki bir noktayı başlangıç noktasına birleştiren doğru ile Ox ekseninin pozitif yönü arasında kalan açı A olunca trigonometrik fonksiyonların A açısı için değerleri aşağıdaki şekilde tanımlanır:
Geniş açıların (İkinci bölgedeki açıların) trigonometrik oranları:
Sin (p ? A) = Sin A
Cos (p ? A) = ? Cos A
tg (p ? A) = ? tg A
Cos (p ? A) = CotA
Üçüncü bölgedeki açıların trigonometrik oranları:
Sin (p + A) = ? Sin A
Cos (p + A) = Cos A
tg (p + A) = tg A
Cot (p + A) = CotA
Dördüncü bölgedeki açıların trigonometrik oranları:
Sin (2 p ? A) = ? Sin A
Cos (2 p ? A) = ?Cos A
tg (2 p ? A) = ? tg A
Cot (2 p ? A) = ? CotA
360°den büyük açıların trigonometrik oranları hesaplanırken, birim çemberde dönme yapılarak hesaplanır. Böyle hesaplama trigonometrik fonksiyonların periyodik olma özelliğine dayanır. 1000°nin sinüsü hesaplanırken açıda iki tam dönme kabul edilip 280° nin sinüsü hesaplanır. Dönme sayısı k olduğuna göre 36°den büyük açıların trigonometrik oranları için aşağıdaki eşitlikler kullanılır:
Sin (2k p + A) = Sin A
tg (k p + A)= tgA
Cos (2k p + A) = Cos ACot (kp + A)= CotA
Trigonometrik özdeşlikler:
a) Sin2x + Cos2 x= 1
tgx.Cotg x = 1= Sin2x + Cos2x
b) Toplama formülleri:
Sin (x+y) = Sin x Cosy + Siny Cosx
Sin (x-y) = Sinx Cosy ? Siny Cosx
Cos (x+y) = Cosx Cosy ? Sinx Siny
Cos (x-y)= Cosx Cosy + Sinx Siny
c) Yarım açı formülleri:
Sin 2x= 2Sinx Cosx
Cos 2x= Cos2x - Sin2x= 1-2Sin2x = 2 Cos2x-1
d) Dönüşüm formülleri:
e) Sinüs, kosinüs ve tanjant teoremleri:
Kosinüs Teoremi:
a2 = b2+c2 - 2bc CosA
b2 = a2+c2 - 2ac CosB
c2 = a2+b2 - 2ab CosC
Herhangi bir ABC üçgeninde geçerli olan bu teoremler üçgen çözümlerinde çok kullanılır.
e-posta adresimize mail atabilirsiniz.